lunes, 15 de octubre de 2007

Metodo de sustitución
















Antes de centrarnos en el método de sustitución, vamos a hablar de algunas generalidades sobre la resolución de los sistemas de ecuaciones.

En primer lugar, hay que saber que, en realidad, resolver adecuadamente un sistema; es un proceso que consta de dos fases: discusión y resolución. La discusión consiste en clasificar el sistema según el esquema visto en la sección anterior, es decir, analizar si el sistema tiene o no solución y, en caso de tenerla, cuántas soluciones. Por otro lado, para la resolución, una vez comprobado que el sistema tiene solución, se utilizará uno de los métodos que en esta Unidad se describen.

En principio, por tanto, la discusión es un proceso anterior al de resolución. Ahora bien, estas fases sólo se realizan en ese orden cuando se utilizan métodos para la resolución de los sistemas distintos de los que veremos en este nivel y que, por tanto, quedan fuera del ámbito de este curso. Por ello, en este momento, ambos procesos, la discusión y la resolución del sistema, se harán de manera simultánea.

En cuanto a la resolución, los métodos que veremos en esta Unidad, que no son todos como ha quedado indicado más arriba, se dividen en dos grupos: métodos analíticos y método gráfico.
Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión) del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la utilización de la equivalencia de sistemas, ya vista anteriormente, y simples operaciones aritméticas.

Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres: sustitución, igualación y reducción. Por contra, el método gráfico (sólo hay uno), consiste, como su propio nombre indica) en resolver (y discutir) el sistema mediante la representación gráfica de sus ecuaciones.

De ahora en adelante, iremos viendo, uno por uno, los diferentes métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones y, al mismo tiempo, cómo, simultáneamente, se puede ir haciendo, en cada caso, la discusión del sistema. Vamos a empezar pues con el método de sustitución:
De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:
Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.

Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.
Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.

Evidentemente, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Queremos decir que será más fácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que "no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones.
Hemos mencionado, en los párrafos anteriores, que, de manera simultánea, se puede ir haciendo la discusión del sistema. ¿Cómo?. Pues bien, si en el proceso de sustituir la incógnita despejada en el primer paso en la otra ecuación e intentar resolverla nos quedase una expresión del tipo "0 = 0", o "K = K", siendo K un número cualquiera (por ejemplo, 4 = 4), tendremos que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Esto se debe a que, en ese caso, una de las ecuaciones es múltiplo de la otra y el sistema quedaría reducido a una sola ecuación, con lo que habría infinitos pares de números (x, y) que la cumplirían. Este tipo de ecuación (0 = 0) se llama ecuación trivial.

Por otro lado, si la ecuación que nos resultase en el proceso anteriormente explicado fuera de la forma "K = 0", siendo K cualquier número distinto de 0, tendremos que el sistema es incompatible por lo que, en ese caso, no tiene solución. Esto es claro por la imposibilidad de la expresión aparecida. Este tipo de ecuación (K = 0) se llama ecuación degenerada. No habría, por tanto, ningún par de números (x, y) que cumplieran ambas ecuaciones del sistema.

Por último, si no nos encontramos, al resolver el sistema, ninguna de los tipos antes descritos de ecuaciones (triviales y degeneradas) y llegamos, al final de su resolución, a un valor para la incógnita x y a otro para la y, estos dos valores formarán el par (x, y) que nos da la solución del sistema y éste tendrá, por tanto una única solución y será un sistema compatible determinado.

Todas las aclaraciones de los párrafos anteriores sobre la discusión de los sistemas son válidas, no sólo para el método de sustitución, sino también para los otros dos métodos de tipo analítico, igualación y reducción, que veremos en las secciones siguientes.

Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema mediante el método de sustitución:
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación

x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
x + y = 600
y = 2x

Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución, ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, ya despejada. Sustituimos el valor de y = 2x en la primera ecuación, con lo que tendremos:
x + 2x = 600 ; 3x = 600 ; x = 600/3 ; x = 200

Ahora sustituimos x = 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, con lo que tendremos:
y = 2x ; y = 400

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros.

6 comentarios:

Anónimo dijo...

realmente pienso que eres muy inteligente y que tu aporte me sirvio de mucho para una tarea de matematicas.

gracias

Anónimo dijo...

QUE BUENO AHORA LE VOY A PODER EXPLICAR A MI NOVIO ESTO PORQUE AMI YA ME LO HABIAN ENSEÑADO PERO ME HABIA OLVIDADO, GRACIAS POR COLABORAR CON LA GENTE

allan dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Anónimo dijo...

eres un idiota eso lo sabe cualquiera con un cerebro diminuto, imbesil, hasta un niño de escuela puede explicar eso.

Anónimo dijo...

oigan aqui no esta lo q necesito actualizen esa enciclopedias mi tarea no la encuentro....me ayudan
con mucho repeto...gracias

Anónimo dijo...

vale, me sirbio mucho.
y gracias a eso me subio un punto el la pruba de matematicas

ja
ja
ja

vale